Toshiba Satellite A300-20Q. Есть отсек для установки второго hdd.
Разъем для подключения hdd НЕ ВПАЯН.
НЕТ рамки ( case ) для установки (крепления) hdd.
Возможно ли в каком-нибудь сервисе в Москве впаять разъем и установить рамку?

Все возможно, но нет гарантии что там заработает второй винт если только разъем впаять. На плате кроме разъема могут отсутствовать еще какие-то элементы, без которых винт не заработает. Более того, он может не дать работать и первому...